원주란 원의 둘레를 의미합니다. 한자어 ‘주’는 둘레나 주위, 주변을 뜻하는 말이에요. 사물의 테두리를 주변이라고 하는데 이와 비슷하게 원의 테두리를 원주라고 하는 겁니다. 

삼각형이나 사각형 같은 다각형에선 테두리를 단순히 둘레라고 부르지만, 원은 특별하게 '원주'라는 고유한 이름을 붙여서 구분합니다. 왜냐하면 원의 둘레는 원의 특별한 성질들과 밀접한 관련이 있기 때문이에요. 이어지는 내용들에서 이것을 학습하게 될 것입니다.

원주는 곡선이라 길이를 직접 재기 어렵기 때문에, 원의 안과 밖을 둘러싼 다각형의 둘레를 통해 원주를 어림해 그 범위를 예상해 볼 수 있습니다.

우리의 궁극적인 목표는 지름을 통해 원주의 길이를 가능한 정확하게 구하는 것이지만 그전에 일단 어림해서 대략적으로 원주가 지름의 몇 배 정도 되는지 알아보고자 하는 겁니다.

원 안에 꼭 맞는 정육각형을 그리면 정육각형의 둘레는 지름의 3배와 같습니다. 왜냐하면 정육각형은 반지름과 길이가 같은 정삼각형 6개로 이루어져 있기 때문이죠. 따라서 원주는 정육각형의 둘레인 지름의 3배보다 길다는 것을 알 수 있습니다. 정육각형의 둘레는 직선인 반면에 원주는 곡선으로 이루어져 있기 때문이죠. 

그다음으로 원 밖을 감싸는 정사각형을 그리면 정사각형의 한 변의 길이는 원의 지름과 같습니다. 그러면 정사각형의 둘레는 지름의 4배입니다. 따라서 원주는 정사각형의 둘레인 지름의 4배보다는 짧다는 것을 알 수 있어요.

이런 과정을 통해 원주와 지름의 비율에 대해 알 수 있는 점은 원주는 지름의 3배보다는 길고, 4배보다는 짧다는 것이죠.

그리고 원주는 지름과 일정한 비율 관계를 이루고 있을 것이라는 점을 추론할 수 있어요. 

원주율이란 원의 지름에 대한 원주의 비율을 의미합니다. 원의 크기가 아주 크든, 아주 작든 상관없이 원주율은 일정해요. 

어떤 원이든 원주를 지름으로 나누면 매우 신기하게도 일정한 소수가 나오는데 그것은 3.1415926535897932…와 같이 끝없이 계속되는 소수입니다. 깔끔하게 나누어떨어지지 않는 소수인 것이죠. 이렇게 불규칙하게 끝없이 계속되는 소수는 분수로도 나타낼 수가 없어요. 

그래서 필요에 따라 원주율을 3, 3.1, 3.14 등으로 어림하여 사용합니다. 숫자로 표현된 이런 원주율의 의미를 해석하자면 원주는 지름의 3배, 3.1배 혹은 3.14배라는 것입니다. 그리고 일반적으로 수학 과목에선 3.14를 표준 원주율로 사용합니다.

참고로 원주율은 어느 한 사람이 특정 시점에 갑자기 발견한 것은 아니고, 수천 년에 걸쳐 전 세계 여러 문명의 수학자들이 정교하게 계산해왔다고 해요. 아주 옛날부터 전 세계 똑똑한 사람들이 힘을 합쳐 찾아낸 보물 같은 수라고 표현할 수도 있겠어요.

지름을 알면 지름에 원주율을 곱해 원주를 구할 수 있죠. 예를 들어 지름이 10 cm이면 여기에 원주율 3.14를 곱해서 나온 31.4 cm가 원주입니다. 이렇게 계산하는 이유는 원주율은 ‘원주/지름’ 이기 때문이죠. 그래서 지름에 원주율을 곱하면 당연히도 원주가 나옵니다.

또한 원주를 알면 지름을 구할 수 있어요. 지름에 원주율을 곱하면 원주가 나오니, 원주를 원주율로 나누면 지름이 나오게 됩니다. 예를 들어, 원주가 31.4 cm일 때 이것을 원주율 3.14로 나누면 지름 10 cm가 나오게 되는 거예요.

원의 안쪽과 바깥쪽에 접하는 사각형을 그려 원의 넓이일 수 있는 범위를 찾아낼 수 있습니다.

우선 원 안에 정사각형을 접하게 그리면 두 대각선의 길이가 원의 지름과 같으니, 예를 들어 반지름이 10 cm인 원이라면 대각선은 20 cm가 됩니다. 그런데 정사각형은 마름모이기도 하니, 정사각형의 넓이를 마름모의 넓이를 구하는 방법으로 구하면 200 cm²가 됩니다. 따라서 원의 면적은 200 cm²보다 더 큽니다.

또 원 밖에 접하도록 정사각형을 그리면 정사각형의 한 변의 길이는 원의 지름과 같으니 정사각형의 넓이는 400 cm²가 됩니다. 그리고 원의 면적은 400 cm²보다 작은 것이고요.

이를 통해 알 수 있는 점은 원의 넓이는 200 cm²보다 크고 400 cm²보다 작다는 사실입니다.

모눈을 활용해 원의 넓이를 어림하는 방법은 원의 곡선 때문에 생기는 '남는 공간'을 모눈의 개수를 통해 최대한 정밀하게 추측하는 과정을 수행하는 것입니다. 이것을 하는 대략적인 방법은 원주를 중심으로 원의 경계선 안에 있는 모눈들의 개수와 경계선에 조금이라도 걸쳐 있는 모눈들의 개수를 세어 원의 넓이가, 이렇게 측정된 모눈들의 개수 사이에 있다는 것을 확인하는 거예요. 구체적인 방법은 다음과 같습니다.

우선 모눈 1칸의 넓이가 1 cm²인 모눈종이에 반지름이 10 cm인 원을 그립니다. 그리고 원의 경계선 안에 완전히 포함된 모눈칸의 개수를 모두 셉니다. 이 칸들은 확실하게 원의 넓이에 포함되는 부분이므로, 원의 최소 넓이를 나타냅니다. 이 모눈들을 세어보면 총 276개이니 원은 최소한 276 cm²보다 크다는 것을 알 수 있어요.

그다음으로 원의 경계선이 조금이라도 걸쳐 있는 모든 모눈칸을 포함하여 셉니다. 눈으로 쉽게 구별할 수 있도록 이 모눈칸들은 빨간색 등의 다른 색으로 표시하면 좋습니다. 이 칸들은 원보다 조금 더 넓은 범위를 감싸고 있으므로, 원의 최대 넓이를 나타내죠. 그리고 이것들을 전부 다 세 보면 344개입니다. 따라서 원은 아무리 커도 344 cm²보다 작다는 것을 알 수 있어요.

이 과정을 통해 원의 넓이는 276 cm²보다 크고 344 cm²보다 작다는 사실을 확인할 수 있습니다. 이것은 정사각형을 이용해 어림한 200 cm²와 400 cm² 사이보다 더 정밀합니다.

이렇듯 모눈을 이용해 어림하는 방법은 정사각형을 이용해 원의 넓이 범위를 어림했을 때보다 더 정밀하게 원의 넓이 범위를 어림할 수 있었어요. 이것이 가능했던 이유는 원의 곡선 부근에서 버려지거나 추가되는 양이 줄어들었기 때문이에요. 그리고 그 정밀도를 더 높이려면 모눈의 크기를 더 작게 만들면 됩니다. 모눈의 크기가 더 작을수록 버려지는 양이 더 줄어들기 때문입니다.

원을 피자 조각처럼 중심에서부터 반지름을 따라 잘라 이것들을 엇갈려 이어 붙이면, 그리고 원을 8등분, 16등분, 32등분, 64등분과 같이 점점 더 잘게 잘라 이어 붙일수록, 이어 붙인 도형의 모양이 신기하게도 점점 더 직사각형에 가까워집니다.

이렇게 원을 한없이, 무한대로 잘라 이어 붙이면 결국 직사각형이 됩니다. 이렇게 원이 직사각형이 되면 원의 넓이는 곧 직사각형의 넓이가 되며, 따라서 원의 넓이를 구하려면 직사각형의 넓이를 구하면 되는 것이죠.

그런데 직사각형의 세로는 원의 반지름과 같고, 직사각형의 가로는 원주의 절반입니다. 원의 위쪽 곡선들이 직사각형의 한 밑변이 되고, 아래쪽 곡선들이 다른 밑변이 되기 때문에 전체 원주의 딱 절반이 가로 길이가 되는 거예요.

따라서 직사각형의 넓이를 구하려면, 가로와 세로를 곱해주면 되므로, 가로는 원주의 절반, 세로는 반지름이 되는데, 원주는 ‘지름 x 원주율’이므로 다음과 같은 식으로 원의 넓이를 표현할 수 있습니다.

원의 넓이 = (직사각형의 가로) x (직사각형의 세로)

= 원주 x ½ x 반지름

= 지름 x 원주율 x ½ x 반지름

그런데 지름의 절반은 반지름이므로 원을 구하는 최종 식은 다음과 같이 됩니다.

원의 넓이 = 반지름 x 반지름 x 원주율

해석하자면 원의 넓이는 반지름을 두 번 곱하고 거기에 원주율을 곱해주면 나온다는 겁니다.

원을 조각 내면 각 조각의 밑변은 원의 일부분인 약간 볼록한 곡선입니다. 이것은 피자 조각과도 비슷하죠. 원을 8등분하면 밑변이 아주 볼록해서 이것들을 이어 붙이면 위아래가 올록볼록한 물결 모양이 됩니다.

그런데 64등분 이상으로 원을 매우 얇게 자르면 곡선의 길이가 매우 짧아져서 직선에 가까워져요. 이런 식으로 원을 더욱더 얇게 한없이 자르게 되면 이 곡선들이 완전히 직선처럼 변하여 직사각형의 매끄러운 두 밑변을 형성하게 됩니다.

원을 8등분으로 조각 내면 조각의 양옆 반지름은 중심에서 퍼져 나가는 사선 모양이 됩니다. 피자 조각을 떠올리면 바로 이와 같은 모양이에요. 그래서 이런 조각들을 엇갈려 붙이면 옆면이 기울어진 평행사변형 모양이 됩니다.

하지만 조각을 한없이 잘게 쪼개면, 조각의 폭이 거의 '점'에 가까워질 만큼 좁아집니다. 그러면 비스듬했던 옆 반지름들이 점점 똑바로 서게 되면서 밑변과 수직을 이루게 돼요. 이런 과정을 통해 원의 조각들이 합쳐져 결국 직사각형이 되는 것입니다.

원의 반지름이 2배, 3배가 되면 원의 넓이는 4배, 9배가 됩니다. 또 원의 반지름이 4배가 되면 원의 넓이는 16배, 5배가 되면 원의 넓이는 25배가 되죠. 

다시 말해 원의 넓이는 반지름의 제곱배만큼 커지는 거예요. 왜냐하면 원의 넓이는 ‘반지름 x 반지름 x 원주율’ 이라서 반지름을 2번 곱한 만큼씩 커지기 때문입니다.

그래서 반지름이 10배가 되면 원의 넓이는 100배가 되는 거예요. 넓이는 제곱배만큼 커지는 겁니다.

퀴즈 전문 및 오답 해설

1번.

원주에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 원주는 원의 둘레를 의미한다.

② 원주의 ‘주’는 중심을 뜻한다.

③ 원의 테두리를 특별히 원주라고 부른다.

④ 삼각형의 둘레도 원주라고 한다.

정답: ①, ③

오답 해설

② ‘주’는 중심이 아니라 둘레, 주위, 주변을 의미합니다.

④ 삼각형과 같은 다각형은 ‘둘레’라고 하며, ‘원주’는 원에만 사용하는 말입니다.

2번.

다각형을 이용해 원주를 어림하는 방법에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 원 안에 그린 정육각형의 둘레는 원주보다 짧다.

② 원 밖에 그린 정사각형의 둘레는 원주보다 길다.

③ 원주는 지름의 3배보다 짧다.

④ 원주는 지름의 4배보다 길다.

정답: ①, ②

오답 해설

③ 원주는 지름의 3배보다 깁니다.

④ 원주는 지름의 4배보다 짧습니다.

3번.

원주율에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 원주율은 원주를 지름으로 나눈 값이다.

② 원의 크기가 달라도 원주율은 같다.

③ 원주율은 정확한 분수로 나타낼 수 있다.

④ 원주율은 끝없이 계속되는 소수이다.

정답: ①, ②, ④

오답 해설

③ 원주율은 끝없이 계속되는 소수로, 정확한 분수로 나타낼 수 없습니다.

4번.

지름과 원주의 관계에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 원주는 지름에 원주율을 곱해서 구한다.

② 지름은 원주를 원주율로 나누어 구할 수 있다.

③ 원주는 지름에 2를 곱해서 구한다.

④ 원주율은 원주에 지름을 곱한 값이다.

정답: ①, ②

오답 해설

③ 원주는 지름에 2가 아니라 원주율을 곱해야 합니다.

④ 원주율은 곱하는 것이 아니라 원주 ÷ 지름으로 구합니다.

5번.

정사각형을 이용한 원의 넓이 어림에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 원 안의 정사각형 넓이는 원의 넓이보다 작다.

② 원 밖의 정사각형 넓이는 원의 넓이보다 크다.

③ 원의 넓이는 두 정사각형 넓이 사이에 있다.

④ 원 안의 정사각형 넓이는 항상 원보다 크다.

정답: ①, ②, ③

오답 해설

④ 원 안에 그린 정사각형은 원보다 작기 때문에 넓이도 더 작습니다.

6번.

모눈을 이용한 원의 넓이 어림에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 원 안에 완전히 포함된 모눈은 최소 넓이를 나타낸다.

② 걸쳐 있는 모눈까지 포함하면 최대 넓이를 나타낸다.

③ 모눈이 클수록 더 정확하게 어림할 수 있다.

④ 모눈이 작을수록 더 정확하게 어림할 수 있다.

정답: ①, ②, ④

오답 해설

③ 모눈이 클수록 오차가 커지므로 정확도가 떨어집니다.

7번.

원의 넓이를 구하는 방법에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 원을 잘게 나누어 엇갈려 이어 붙이면 직사각형과 비슷해진다.

② 직사각형의 가로는 원주의 절반이다.

③ 직사각형의 세로는 원의 지름이다.

④ 원의 넓이는 반지름 × 반지름 × 원주율이다.

정답: ①, ②, ④

오답 해설

③ 직사각형의 세로는 지름이 아니라 반지름입니다.

8번.

원을 잘게 나누어 이어 붙였을 때 직사각형이 되는 이유에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 조각이 많아질수록 곡선이 직선에 가까워진다.

② 조각이 많아질수록 옆면이 수직에 가까워진다.

③ 처음부터 완벽한 직사각형이 된다.

④ 조각이 적을수록 더 직사각형에 가깝다.

정답: ①, ②

오답 해설

③ 처음에는 물결 모양이며, 점점 직사각형에 가까워집니다.

④ 조각이 많을수록 직사각형에 더 가까워집니다.

9번.

반지름과 원의 넓이의 관계에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 반지름이 2배가 되면 넓이는 4배가 된다.

② 반지름이 3배가 되면 넓이는 6배가 된다.

③ 반지름이 4배가 되면 넓이는 16배가 된다.

④ 원의 넓이는 반지름의 제곱에 비례한다.

정답: ①, ③, ④

오답 해설

② 반지름이 3배가 되면 넓이는 6배가 아니라 제곱배인 9배가 됩니다.

10번.

원주에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 원주란 원의 둘레를 의미한다

② 원주는 다각형의 둘레와 같은 개념이라 구별하지 않는다

③ 원주라는 이름을 사용하는 이유는 원의 둘레가 원의 특별한 성질들과 밀접한 관련이 있기 때문이다

④ 한자어 주는 둘레나 주위를 뜻한다

정답: ①, ③, ④

오답 해설:

② 다각형의 둘레는 단순히 둘레라고 부르지만 원의 둘레는 원주라는 고유한 이름으로 구별하여 부릅니다.

11번.

원 안에 꼭 맞는 정육각형의 둘레와 원주의 관계로 옳은 것을 고르세요.

① 정육각형의 둘레는 지름의 4배와 같다

② 원주는 정육각형의 둘레보다 짧다

③ 정육각형의 둘레는 지름의 3배와 같으며 원주는 이보다 길다

④ 정육각형의 둘레와 원주는 항상 같다

정답: ③

오답 해설:

① 정육각형의 둘레는 지름의 3배와 같습니다. 지름의 4배는 원 밖을 감싸는 정사각형의 둘레입니다.

② 원주는 곡선으로 이루어져 있어 원 안에 있는 정육각형의 직선 둘레보다 더 깁니다.

④ 정육각형의 둘레는 직선으로 이루어진 반면 원주는 곡선으로 이루어져 있어 서로 다릅니다.

12번.

원주율에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 원주율은 원의 지름에 대한 원주의 비율이다

② 원의 크기에 따라 원주율은 달라진다

③ 원주율은 3.1415926535…와 같이 끝없이 계속되는 소수이다

④ 수학에서는 일반적으로 3.14를 표준 원주율로 사용한다

정답: ①, ③, ④

오답 해설:

② 원주율은 원의 크기와 상관없이 항상 일정합니다. 어떤 원이든 원주를 지름으로 나누면 동일한 원주율이 나옵니다.

13번.

지름이 5 cm인 원의 원주를 구하기 위해 원주율 3.14를 사용하여 계산한 결과로 옳은 것을 고르세요.

① 15.7 cm

② 31.4 cm

③ 7.85 cm

④ 78.5 cm

정답: ①

14번.

원주가 62.8 cm일 때 지름을 구하는 방법으로 옳은 것을 고르세요.

① 62.8 × 3.14

② 62.8 + 3.14

③ 62.8 ÷ 3.14

④ 62.8 × 2

정답: ③

15번.

반지름이 10 cm인 원의 넓이 범위를 정사각형을 이용해 어림한 결과로 옳은 것을 고르세요.

① 원의 넓이는 100 cm²보다 크고 200 cm²보다 작다

② 원의 넓이는 200 cm²보다 크고 400 cm²보다 작다

③ 원의 넓이는 300 cm²보다 크고 500 cm²보다 작다

④ 원의 넓이는 400 cm²보다 크고 600 cm²보다 작다

정답: ②

16번.

원의 넓이를 구하는 공식으로 옳은 것을 고르세요.

① 지름 × 지름 × 원주율

② 반지름 × 반지름 × 원주율

③ 반지름 × 원주율

④ 지름 × 원주율 × 2

정답: ②

17번.

원을 잘게 잘라 엇갈려 이어 붙이면 직사각형이 되는 원리로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 조각을 한없이 잘게 쪼갤수록 조각의 밑변 곡선이 직선에 가까워진다

② 조각을 한없이 잘게 쪼갤수록 비스듬한 옆 반지름이 밑변과 수직을 이루게 된다

③ 원을 8등분하면 이미 완전한 직사각형이 된다

④ 이렇게 만들어진 직사각형의 가로는 원주의 절반이고 세로는 반지름이다

정답: ①, ②, ④

오답 해설:

③ 원을 8등분하면 조각의 밑변이 아직 볼록한 곡선이어서 이어 붙이면 위아래가 올록볼록한 물결 모양이 됩니다. 완전한 직사각형이 되려면 한없이 잘게 잘라야 합니다.

18번.

반지름이 3 cm인 원의 넓이를 원주율 3.14를 사용하여 계산한 결과로 옳은 것을 고르세요.

① 9.42 cm²

② 18.84 cm²

③ 28.26 cm²

④ 56.52 cm²

정답: ③

19번.

반지름이 2배, 3배로 커질 때 원의 넓이 변화로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 반지름이 2배가 되면 원의 넓이는 4배가 된다

② 반지름이 3배가 되면 원의 넓이는 6배가 된다

③ 반지름이 5배가 되면 원의 넓이는 25배가 된다

④ 원의 넓이는 반지름의 제곱배만큼 커진다

정답: ①, ③, ④

오답 해설:

② 반지름이 3배가 되면 원의 넓이는 3 × 3 = 9배가 됩니다. 원의 넓이는 반지름 × 반지름 × 원주율이므로 반지름이 3배가 되면 넓이는 제곱인 9배가 됩니다. 6배는 틀렸습니다.

20번. 

원주와 원주율에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 원주란 원의 지름의 길이를 의미하며 다각형의 둘레와 같은 개념이다.

② 원주율은 원의 크기에 따라 변하며, 원이 커질수록 원주율도 커진다.

③ 원주율은 원주를 지름으로 나누어 구할 수 있으며, 약 3.14로 어림하여 사용한다.

④ 원주는 지름의 3배보다는 길고, 지름의 4배보다는 짧다.

정답: ③, ④

오답 해설

① 원주는 지름이 아니라 '원의 둘레'를 의미합니다.

② 원주율은 원의 크기와 상관없이 항상 일정한 비율을 유지합니다.

21번. 

다각형을 이용한 원주와 원의 넓이 어림에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 원 안에 꼭 들어맞는 정육각형의 둘레를 구하면 원주가 지름의 3배보다 길다는 것을 알 수 있다.

② 원 밖에서 만나는 정사각형의 둘레는 지름의 4배와 같으며, 이는 원주보다 짧다.

③ 반지름이 10 cm인 원의 넓이는 원 안의 정사각형 넓이인 200 cm²보다 크다.

④ 모눈종이를 이용해 원의 넓이를 어림하면 정사각형을 이용할 때보다 더 정밀한 범위를 구할 수 있다.

정답: ①, ③, ④

오답 해설

② 원 밖의 정사각형 둘레(지름의 4배)는 원을 감싸고 있으므로 원주보다 '깁니다'.

22번. 

지름, 원주, 원주율의 관계에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 지름에 원주율을 곱하면 원의 둘레인 원주를 구할 수 있다.

② 원주를 알고 있을 때, 원주를 원주율로 나누면 지름을 구할 수 있다.

③ 원주율은 소수로 나타내면 끝없이 계속되므로 상황에 따라 3이나 3.1로 어림하기도 한다.

④ 반지름이 5 cm이고 원주율이 3.1이라면 원주는 15.5 cm이다.

정답: ①, ②, ③

오답 해설

④ 원주는 '지름 X 원주율'입니다. 반지름이 5 cm이면 지름은 10 cm이므로 원주는 10 X 3.1 = 31 cm가 됩니다.

23번. 

원의 넓이 공식이 만들어지는 과정에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 원을 무한히 잘게 잘라 이어 붙이면 결국 직사각형 모양에 가까워진다.

② 원을 잘라 만든 직사각형의 가로는 원주의 길이와 같다.

③ 원을 잘라 만든 직사각형의 세로는 원의 반지름과 같다.

④ 원의 넓이를 구하는 최종 식은 '반지름 X 반지름 X 원주율'이다.

정답: ①, ③, ④

오답 해설

② 직사각형의 가로는 원주의 전체 길이가 아니라 '원주의 절반'입니다. 위아래로 나누어 붙이기 때문입니다.

24번. 

반지름의 변화에 따른 원의 넓이 변화에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 반지름이 2배가 되면 원의 넓이는 반지름을 두 번 곱한 관계에 의해 4배가 된다.

② 반지름이 3배가 되면 원의 넓이는 6배가 된다.

③ 반지름이 10배가 되면 원의 넓이는 제곱배인 100배가 된다.

④ 원의 넓이가 반지름의 제곱에 비례하는 이유는 원의 넓이를 구하는 식에서 반지름이 두 번 곱해지기 때문이다.

정답: ①, ③, ④

오답 해설

② 반지름이 3배가 되면 넓이는 3 X 3 = 9배가 됩니다.

최종적으로, 학습한 내용과 관련된 익힘책 및 문제집의 문제들을 푸세요!