소수와 합성수는 일단 모두 자연수입니다. 그런데 수학자들은 자연수 중에서 1을 제외하고 약수의 개수에 따라 자연수를 소수와 합성수로 분류했어요. 1이 제외되었다는 것은, 1을 원천적으로 차단했다는 뜻이며, 1보다 모두 큰 수라는 것이니 소수와 합성수 모두 1보다 큰 자연수라고 해도 무방하고요.

소수는 약수가 1과 자기 자신뿐인 자연수를 의미합니다. 약수의 개수 관점에서 보자면, 약수를 2개만 가지는 수가 바로 소수입니다.

예를 들어, 2의 약수는 1과 2이고, 3의 약수는 1과 3이므로 2와 3 같은 수들을 가리켜 소수라고 하는 겁니다.

반면에 합성수는 1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신 이외의 다른 수를 약수로 가지는 수를 의미해요. 약수의 개수로 보자면 약수가 3개 이상이 수가 바로 합성수인 것이죠.

예를 들어, 4의 약수는 1, 2, 4이고, 6의 약수는 1, 2, 3, 6으로서 1과 자기 자신 이외에 다른 수를 약수로 가지고 있으니 4나 6 같은 수들을 가리켜 합성수라고 하는 것입니다.

초등 과정에서 배웠던 소수는 1보다 작은 수를 소수점을 사용해 표현한 수를 의미했습니다. 1보다 작은 수를 나타내는 것이니 한국의 수학에선 이런 수를 가리켜 말 그대로 작다는 의미의 소수라는 이름을 붙이게 된 것입니다.

반면에 중등 과정에서 배우는 소수에서의 글자 소는 바탕, 근본, 원소라는 뜻을 나타내기 때문에, 바탕이 되는 근본이 되는 수라는 의미에서 소수라는 이름이 붙었어요.

실제로 소수는 합성수의 바탕이 되며 근본이 됩니다. 합성수 4는 소수 2와 2의 곱으로 이루어져 있고요. 합성수 6은 소수 2와 3의 곱으로 이루어져 있죠. 소수는 합성수를 이루는 원소라고도 말할 수 있는 거예요.

소수라는 원소들을 서로 곱해서 합성하면 합성수가 되는 것이죠. 이건 마치 레고 블록들을 조립해서 합성하면 레고 완성품이 나오는 것과도 비슷해요. 이때 하나하나의 레고 블록이 소수인 것이고, 완성품은 합성수가 되는 것입니다.

소수는 합성수들의 근본이 되는 기본 재료와 같은 겁니다. 합성수는 소수로부터 나온 거라는 거죠. 

영어권 수학에선 소수를 가리켜 적절하게도 프라임 넘버(Prime Number)라고 부르는데, 프라임은 근본적인 것을 나타내는 말입니다. 수는 수지만 모든 합성수들을 만들어내는 근본적인 수라는 것이죠.

소수와 소수는 공교롭게도 한글 표기가 동일하므로 이 둘을 구분하기 위해 소수를 더 강하게 발음합니다. 한글 표기만으로는 이 둘을 구분할 수가 없으니까요.

소수를 “약수가 2개인 수”라고 정의해도 수학적으로 올바르며, 소수의 정의로서 훌륭하게 부합합니다. 실제로 많은 현대 수학 교재나 선생님들이 직관적이고 깔끔하다는 이유로 “소수는 약수가 2개인 자연수이다”라고 가르치기도 합니다.

다만 중등 수학 과정에선 자기 자신 말고는 다른 수로 나누어떨어지지 않는다는 소수의 본질을 드러내어 학생들이 소수가 어떤 수인지 더 잘 이해하게끔, 즉 이것이 합성수들의 근본이 되는 수임을 강조하기 위해 1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 자기 자신뿐인 수라는 정의를 채택한 거예요.

마찬가지로 합성수 또한 약수가 3개 이상인 수라고 정의해도 괜찮습니다만, 중등 수학에선 합성수가 1과 자기 자신 이외에 나누어떨어지게 하는 다른 수가 있다는 점을 나타내어 이 수가 합성되었다, 다시 말해 소수들의 곱으로 이루어졌음을 표현하기 위해 자신 이외의 다른 수를 약수로 가진다는 점을 정의에 포함시킨 것입니다.

1부터 100까지의 자연수 중에서 소수를 찾으려면, 1부터 100까지 각각의 수에서 약수가 몇 개인지 하나하나 확인하면서 그 수가 소수인지 아닌지 확인하면서 찾을 수도 있죠. 예를 들어, 1은 소수가 아니고 2는 소수고, 3도 소수고 4는 약수가 3개이니 소수가 아니라는 식으로 수 하나하나가 소수인지 아닌지를 확인하는 방법이에요.

이 방법으로 소수를 모두 찾을 수 있긴 하지만 시간이 너무 오래 걸립니다. 1부터 100까지의 수는 총 100개가 있으니 약수의 개수를 100번을 확인해야 하거든요.

수학에선 특히나 비효율적인 것을 싫어해요. 그러니 더 효율적인 방법을 찾아야 합니다. 그런 효율적인 방법을 처음으로 고안해 소개한 사람이 바로 고대 그리스의 수학자 에라토스테네스입니다.

원리는 간단합니다. 소수를 하나 찾으면, 그 소수의 배수들을 전부 지워나가는 거죠. 모래에서 자갈을 체로 걸러내듯 합성수를 걸러내고 소수만 남기는 거예요. 그래서 적절하게도 이 방법을 가리켜 에라토스테네스의 체라고 부릅니다.

에라토스테네스의 체는 구체적으로 5단계 과정으로 이루어져 있어요. 1부터 100까지의 숫자가 적힌 표를 준비한 다음, 다음의 5단계 과정을 거치면 오직 소수만 남게 되는 것이죠.

1단계는 1을 제거하는 겁니다. 1은 당연히도 소수가 아니니까요.

2단계에선 소수인 2를 남기고 나머지 수들 중에서 2의 배수를 지웁니다. 2를 제외한 2의 배수들은 합성수이고 소수가 아니기 때문에 모두 지워져야 합니다.

3단계에선 소수인 3을 남기고 3의 배수를 지웁니다. 3을 제외한 3의 배수들은 합성수이고 소수가 아니기 때문에 모두 지워져야 합니다.

4단계에선 소수인 5를 남기고 5의 배수를 지웁니다. 5를 제외한 5의 배수들은 합성수이고 소수가 아니기 때문에 모두 지워져야 합니다.

마지막으로 5단계에선 소수인 7을 남기고 7의 배수를 지웁니다. 7을 제외한 7의 배수들은 합성수이고 소수가 아니기 때문에 모두 지워져야 합니다.

이렇게 5단계까지 거쳐 7의 배수까지만 지우면 1과 모든 합성수들이 지워져서 소수만 남게 되어 소수를 찾는 작업이 모두 끝납니다.

물론 7의 다음에 11, 13, 17과 같은 소수들도 있지만 7의 다음에 나오는 이런 소수들은 확인할 필요가 없죠. 왜냐하면 10보다 큰 수들부터는 이미 자기보다 작은 소수 중 하나와 먼저 곱해졌기 때문에 앞선 단계들에서 지워졌기 때문입니다. 예를 들어, 22는 11에 2를 곱한 것이니 이미 지워져 있잖아요.

따라서 다음 소수인 11의 배수부터는 굳이 직접 지우러 다닐 필요가 없습니다.

거듭제곱은 같은 수나 문자를 여러 번 반복해서 곱할 때, 이를 아주 간결하고 편리하게 나타내는 표현 방식을 의미합니다.

예를 들어 2를 3번 반복해서 곱하면 초등 수학 과정에선 다음과 같이 표현했었습니다.

하지만 이렇게 길게 쓰는 대신에, 거듭제곱을 사용하면 다음과 같이 더 간결하게 나타낼 수 있습니다.

이것은 "2의 세제곱"이라고 읽으며, 이때 각각의 자리에 있는 숫자들은 고유한 명칭과 역할을 가집니다.

여기서 2를 밑이라고 부릅니다. 거듭해서 곱하는 대상을 뜻하죠.

그리고 밑의 오른쪽 위에 작은 글씨로 적힌 수를 지수라고 불러요. 지수는 대상이 몇 번 곱해졌는지 나타내는 횟수를 의미합니다.

지수에서 지는 손가락으로 가리키거나 지시한다는 뜻을 가지고 있습니다. 즉, 지수(指數)라는 말은 "어떤 숫자가 몇 번 곱해졌는지 손가락으로 콕 짚어서 가리켜 주는 숫자"라는 의미에서 붙은 이름입니다.

수학자들이 거듭제곱 개념을 만들어 낸 이유는 곱으로 나타내는 숫자를 쉽게 기록하고 읽을 수 있게 하기 위해서였어요.

2를 10번 곱할 때 이것을 곱셈으로 나타내는 일은 번거로워요. 2를 9번 썼는지 10번 썼는지 세다가 실수를 할 수도 있고요. 하지만 거듭제곱이 있다면 이 긴 연산을 한눈에 알아볼 수 있도록 시각적으로 완벽하게 압축해 주죠.

또 우리가 사는 세상에는 상상할 수 없을 만큼 거대한 수들이 존재하거든요. 예를 들어, 전 세계 모든 해변과 사막에 있는 모래알은 1뒤에 0이 18개 붙은 수만큼 존재합니다. 또 지구에서 관측 가능한 우주의 별은 1뒤에 0이 22개 붙은 수만큼 존재해요.

이렇게 너무도 큰 수들을 0을 사용해 표현하려면 쓰기도 힘들고 읽기도 불편하니 거듭제곱을 사용해 간략히 줄여서 표현할 수 있는 겁니다. 거듭제곱을 사용한다면 0이 몇 개 있는지 셀 필요가 없이 그저 지수가 얼마인지만 확인하면 되니 보다 편리해진 것이죠.

인수나 약수나 모두 자연수입니다. 따라서 인수나 약수나 자연수 측면에선 둘 다 같은 수입니다. 이것은 마치 여러분의 엄마가 여러분에겐 엄마이지만 여러분의 아빠에겐 아내인 것과도 비슷합니다. 엄마나 아내나 관계에 따라 다르게 부르는 말이지만 결국 같은 사람인 것이죠.

약수는 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수입니다. 예를 들어 12를 나누어떨어지게 하는 수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이고, 이들은 12의 약수입니다. 즉, 약수는 나눗셈의 관점에서 바라본 수인 거예요.

반면에 인수는 어떤 수를 곱셈으로 분해했을 때 구성원이 되는 수들을 뜻합니다. 예를 들어 12는 3 x 4로 나타낼 수 있는데, 이때 곱해진 3과 4는 12를 이루는 원인이 되므로 12의 인수라고 부릅니다. 즉, 인수는 곱셈의 관점에서 바라본 수인 거예요.

마지막으로 소인수는 인수들 중에서 오직 소수인 수들을 의미합니다. 예를 들어, 12의 인수들은 1, 2, 3, 4, 6, 12인데 이 중에서 소인수는 2와 3인 거예요.

소인수분해는 합성수를 그 수의 소인수들만의 곱으로 나타내는 것을 의미합니다. 예를 들어 합성수 18은 다음과 같이 소인수들만의 곱으로 나타낼 수 있죠.

소인수분해라는 그 이름처럼 합성수를 소인수로 분해해서 표현하는 겁니다.

소인수분해를 하는 방법은 기본적으로 합성수를 소수로 계속 나누는 것인데, 크게 2가지 방식으로 이것을 수행할 수 있습니다.

첫 번째 방식은 수를 나뭇가지 모양처럼 옆으로 가지를 뻗으며 곱해서 그 수가 되는 두 숫자를 계속 적어나가는 방식입니다.

예를 들어 18을 가지치기 방식으로 소인수분해를 하면 다음과 같이 할 수 있습니다.

18에서 두 갈래 가지를 쳐서 2 x 9로 쪼개는 거예요. 이때 2는 소수이므로 동그라미를 그려서 이것이 더 이상 분해되지 않는 소인수임을 나타내 줍니다.

그다음으로 9에서 다시 가지를 쳐서 3 x 3으로 쪼개는 거예요. 그리고 3과 3은 모두 소수이므로 이것들에도 동그라미를 그려서 이것들이 더 이상 분해되지 않는 소인수임을 나타내 주는 거예요.

이제 더 이상 소인수분해할 수 없으니 동그라미 친 수들을 모아서 다음과 같이 거듭제곱으로 쓰는 겁니다.

소인수분해를 하는 두 번째 방식은 나눗셈 기호를 거꾸로 하여 소수로 더 이상 나누어떨어지지 때까지 계속 나누는 거예요.

18을 쓴 다음 먼저 2로 나눕니다. 그러면 9가 나오고, 이 9를 3으로 나누면 3이 나와서 분해가 끝나는 겁니다. 이제 왼쪽에 나눈 수들과 맨 아래 남은 몫을 모두 곱으로 나타내면 소인수분해가 완료되는 거예요.

그렇다면 이런 소인수분해를 도대체 왜 하는 걸까요? 왜 굳이 소수로 다 쪼개느냐는 말이에요.

합성수를 소수들로 쪼개면 그 합성수가 쪼개지지 않는 어떤 소수들로 이루어졌는지 한눈에 쉽게 확인할 수 있죠.

그리고 소인수들을 비교하는 것만으로 여러 수의 최대공약수와 최소공배수를 쉽고 빠르게 구해낼 수 있죠.

소인수분해의 대상은 가장 넓게 보면 1보다 큰 자연수이긴 합니다만, 구체적으로는 합성수만이 소인수분해의 대상입니다. 그 외의 수들은 소인수분해를 할 필요도 없고 할 수도 없습니다. 예를 들어 1은 당연히 소인수분해가 안 되고, 2나 3, 7, 11 같은 소수들도 본인들 자체가 더 이상 쪼개지지 않는 소수들이기 때문에 소인수분해를 할 수가 없습니다.

'분해'라는 말은 무언가 복잡하게 결합되어 있는 것을 원래의 낱개 요소로 쪼갠다는 뜻인데, 소수는 이미 스스로가 낱개 요소이니 소인수분해 대상이 될 수 없는 것이죠. 소인수분해의 진짜 주인공이자 유의미한 대상은 합성수가 될 수밖에 없는 겁니다.

따라서 대부분 수학 교과서들에서 정의된 것처럼 소인수분해를 “1보다 큰 자연수를 그 수의 소인수들만의 곱으로 나타내는 것”이라 정의해도 틀리진 않겠으나 이것은 엄밀하고 정교한 정의는 아니라고 평가할 수 있습니다.

소인수분해는 합성수를 분해하는 작업이라고 이해하는 것이 더 구체적인 개념 이해에 가까운 거예요.

약수와 인수는 본질적으로 서로 같은 수입니다. 따라서 소인수분해는 약수 또한 쉽게 구할 수 있게 만들어 주죠. 핵심 원리는 “어떤 수의 약수는 그 수를 이루고 있는 소인수 블록들의 조합으로만 만들어진다"라는 점입니다. 그래서 소인수들의 곱의 모든 조합은 약수가 된다는 거예요.

예를 들어, 합성수 12의 약수를 구하려면 먼저 12를 다음과 같이 소인수분해합니다.

그러면 12를 구성하는 소인수들이 2와 3으로 만들어져 있다는 점을 확인할 수 있고, 이 소인수들의 곱으로 만들어낼 수 있는 모든 자연수들이 12의 약수가 된다는 것이죠.

소인수들 곱의 모든 조합을 알아내기 위해 표를 그립니다. 표는 가로와 세로로 이루어져 있어서 소인수들의 모든 곱을 알아내기에 적합한 도구입니다.

2제곱의 약수들 개수가 더 많으니 이것을 표의 세로줄에 기입하고, 3의 약수들을 가로줄에 기입합니다. 순서가 바뀌어도 상관없지만, 보통 자료가 늘어날 때엔 세로칸을 늘리거든요.

그리고 가로의 수와 세로의 수를 곱한 결과를 빈칸에 채워 넣어요. 이렇게 채워진 수들이 12의 모든 약수인 겁니다.

60을 소인수분해하면 다음과 같이 나타낼 수 있어요.

그러면 60을 구성하는 소인수들이 2, 3, 5로 만들어져 있다는 점을 확인할 수 있는데, 이번엔 소인수의 종류가 3개인지라 소인수들의 모든 곱을 표로 나타내기엔 어려움이 있습니다. 표는 기본적으로 가로와 세로 2가지 종류의 소인수들의 곱만 표현할 수 있기 때문이죠.

그래서 이렇게 소인수 종류가 3개 이상인 경우엔 표를 사용하지 말고 가지치기 방식으로 소인수들의 곱의 조합을 하나하나 찾아줄 수 있습니다.

우선 2 제곱으로 만들 수 있는 약수들을 모두 세로로 나열해요. 그다음으로 3으로 만들 수 있는 약수들을 각각 나열해서 가지를 뻗어 나가는 겁니다. 마지막으로 5로 만들 수 있는 약수들을 나열하고 소인수들 곱의 조합을 모두 써서 작은 수부터 나열해 주면 모든 약수를 실수 없이 찾을 수 있습니다.

퀴즈 전문 및 오답 해설

1번.

소수와 합성수에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 소수와 합성수는 모두 1보다 큰 자연수이다.

② 1은 소수와 합성수에 모두 포함된다.

③ 소수는 약수가 1과 자기 자신뿐인 수이다.

④ 합성수는 약수가 2개인 수이다.

정답: ①, ③

해설

② 1은 소수도 아니고 합성수도 아니다.

④ 약수가 2개인 수는 소수이며, 합성수는 약수가 3개 이상인 수이다.

2번.

중등 과정에서 배우는 소수에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 합성수의 근본이 되는 수라는 의미가 있다.

② 영어로 Prime Number라고 부른다.

③ 초등 과정에서 배우는 소수와 같은 의미이다.

④ 합성수를 이루는 기본 재료가 될 수 있다.

정답: ①, ②, ④

해설

③ 초등 과정의 소수는 소수점을 사용해 나타내는 수이고, 중등 과정의 소수는 Prime Number를 의미한다.

3번.

소수의 정의에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 소수는 약수가 2개인 자연수라고 정의할 수 있다.

② 소수는 약수가 1과 자기 자신뿐인 수라고 정의할 수 있다.

③ 소수는 약수가 3개 이상인 수이다.

④ 소수를 약수가 2개인 수라고 정의하면 틀린 정의가 된다.

정답: ①, ②

해설

③ 약수가 3개 이상인 수는 합성수이다.

④ 약수가 2개인 수라는 정의도 수학적으로 올바른 정의이다.

4번.

합성수의 정의에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 약수가 3개 이상인 수라고 정의할 수 있다.

② 1과 자기 자신 이외의 약수를 가진 수이다.

③ 약수가 정확히 2개인 수이다.

④ 소수들의 곱으로 이루어진 수라고 볼 수 있다.

정답: ①, ②, ④

해설

③ 약수가 정확히 2개인 수는 소수이다.

5번.

에라토스테네스의 체에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 소수만 남기고 합성수를 걸러내는 방법이다.

② 가장 먼저 1을 제거한다.

③ 소수의 배수를 차례대로 지운다.

④ 합성수만 남기고 소수를 지우는 방법이다.

정답: ①, ②, ③

해설

④ 에라토스테네스의 체는 합성수를 지우고 소수를 남기는 방법이다.

6번.

1부터 100까지의 소수를 찾을 때 직접 자신의 배수를 지우는 소수를 모두 고르세요.

① 2

② 3

③ 7

④ 11

정답: ①, ②, ③

해설

④ 11의 배수들은 이미 더 작은 소수의 배수를 지우는 과정에서 제거되므로 따로 지울 필요가 없다.

7번.

거듭제곱에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 같은 수를 여러 번 곱하는 것을 간단히 나타내는 표현이다.

② 2 × 2 × 2는 2³으로 나타낼 수 있다.

③ 거듭제곱은 덧셈을 간단히 나타내기 위해 만들어졌다.

④ 매우 큰 수를 편리하게 표현할 수 있다.

정답: ①, ②, ④

해설

③ 거듭제곱은 반복되는 곱셈을 간단하게 나타내기 위해 사용한다.

8번.

거듭제곱 2³에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 2는 밑이다.

② 3은 지수이다.

③ 3은 밑이다.

④ 지수는 몇 번 곱해졌는지 나타낸다.

정답: ①, ②, ④

해설

③ 3은 지수이며 밑이 아니다.

9번.

인수와 약수에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 약수는 나눗셈의 관점에서 보는 수이다.

② 인수는 곱셈의 관점에서 보는 수이다.

③ 인수와 약수는 항상 서로 다른 수이다.

④ 같은 수라도 관점에 따라 인수 또는 약수라고 부를 수 있다.

정답: ①, ②, ④

해설

③ 인수와 약수는 관점이 다를 뿐 같은 수를 가리킬 수 있다.

10번.

12의 소인수인 것을 모두 고르세요.

① 1

② 2

③ 3

④ 6

정답: ②, ③

해설

① 1은 소수가 아니므로 소인수가 아니다.

④ 6은 소수가 아니므로 소인수가 아니다.

11번.

소인수분해에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 합성수를 소인수들만의 곱으로 나타내는 것이다.

② 최대공약수와 최소공배수를 구하는 데 활용된다.

③ 소수도 반드시 소인수분해할 수 있다.

④ 어떤 합성수가 어떤 소수들로 이루어졌는지 알 수 있다.

정답: ①, ②, ④

해설

③ 소수는 더 이상 분해되지 않으므로 소인수분해의 대상이 아니다.

12번.

소인수분해를 하는 방법에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 가지치기 방식으로 할 수 있다.

② 소수로 계속 나누는 방식으로 할 수 있다.

③ 반드시 표를 사용해야 한다.

④ 소수가 될 때까지 분해를 계속한다.

정답: ①, ②, ④

해설

③ 소인수분해는 표를 사용하지 않아도 할 수 있다.

13번.

소인수분해의 대상에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 합성수가 소인수분해의 주된 대상이다.

② 1은 소인수분해할 수 없다.

③ 소수는 소인수분해할 수 없다.

④ 모든 자연수는 반드시 소인수분해할 수 있다.

정답: ①, ②, ③

해설

④ 1과 소수는 소인수분해의 대상이 아니다.

14번.

약수를 소인수분해로 구하는 원리에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 약수는 소인수들의 곱의 조합으로 만들어진다.

② 소인수들의 가능한 모든 곱은 약수가 된다.

③ 소인수와 관계없는 수가 약수가 될 수 있다.

④ 소인수분해를 이용하면 약수를 체계적으로 찾을 수 있다.

정답: ①, ②, ④

해설

③ 약수는 반드시 그 수를 이루는 소인수들의 조합으로 만들어져야 한다.

15번.

12 = 2² × 3에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 12의 소인수는 2와 3이다.

② 12의 약수는 소인수들의 조합으로 만들 수 있다.

③ 12의 소인수는 1, 2, 3이다.

④ 표를 이용하여 약수를 찾을 수 있다.

정답: ①, ②, ④

해설

③ 1은 소수가 아니므로 소인수가 아니다.

16번.

60의 약수를 구할 때에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 60 = 2² × 3 × 5로 소인수분해할 수 있다.

② 소인수의 종류가 3개이므로 표로 나타내기 불편할 수 있다.

③ 가지치기 방식으로 약수의 조합을 찾을 수 있다.

④ 60의 소인수는 2와 3뿐이다.

정답: ①, ②, ③

해설

④ 60의 소인수는 2, 3, 5이다.

17번.

초등 과정과 중등 과정에서 배우는 '소수'에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 초등 과정의 소수와 중등 과정의 소수는 의미가 서로 같다.

② 중등 과정의 소수에서 '소'는 바탕, 근본, 원소라는 뜻이다.

③ 영어권 수학에서 소수를 뜻하는 프라임 넘버의 프라임은 근본적인 것을 뜻한다.

④ 두 소수는 표기가 같으므로 구분하기 위해 중등 과정의 소수를 더 약하게 발음한다.

정답: ②, ③

해설

① 초등 과정의 소수는 1보다 작은 수를 소수점으로 표현한 수(작다는 의미)이고, 중등 과정의 소수는 합성수의 바탕이 되는 수(근본이라는 의미)이므로 뜻이 완전히 다릅니다.

④ 한글 표기가 동일하므로 이 둘을 구분하기 위해 중등 과정의 소수를 더 강하게 발음합니다.

18번.

1부터 100까지의 자연수 중 소수를 찾는 '에라토스테네스의 체'에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 가장 먼저 소수가 아닌 자연수 1을 표에서 제거한다.

② 소수를 찾으면 그 소수의 배수들을 전부 지워나가는 원리이다.

③ 2의 배수, 3의 배수, 5의 배수를 지운 후에는 7의 배수까지 지워야 완료된다.

④ 7 다음의 소수인 11의 배수들도 표에서 찾아서 직접 일일이 다 지워야 한다.

정답: ①, ②, ③

해설

④ 11의 배수부터는 굳이 직접 지우러 다닐 필요가 없습니다. 10보다 큰 수들은 이미 자기보다 작은 소수(2, 3, 5, 7)와 먼저 곱해졌기 때문에 앞선 단계에서 이미 지워져 있습니다.

19번.

거듭제곱의 개념과 표현에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 거듭해서 곱하는 대상을 '지수'라고 부른다.

② 대상이 몇 번 곱해졌는지 나타내는 횟수를 '지수'라고 부른다.

③ 2 × 2 × 2를 거듭제곱으로 간결하게 나타내면 2³이다.

④ 같은 수나 문자를 여러 번 반복해서 더할 때 사용하는 표현 방식이다.

정답: ②, ③

해설

① 거듭해서 곱하는 대상은 '밑'이라고 부릅니다.

④ 거듭제곱은 여러 번 반복해서 '더할 때'가 아니라 '곱할 때' 사용하는 표현 방식입니다.

20번.

약수, 인수, 소인수의 관계에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 약수와 인수는 자연수 측면에서 볼 때 결국 같은 수이다.

② 약수는 곱셈의 관점에서 바라본 수이고, 인수는 나눗셈의 관점에서 바라본 수이다.

③ 12를 3 × 4로 나타낼 때, 곱해진 3과 4는 12의 인수이다.

④ 12의 인수(1, 2, 3, 4, 6, 12) 중에서 소인수는 1, 2, 3이다.

정답: ①, ③

해설

② 약수는 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수이므로 '나눗셈의 관점'이고, 인수는 곱셈으로 분해했을 때의 구성원이 되므로 '곱셈의 관점'입니다. 설명이 반대로 되었습니다.

④ 소인수는 인수 중에서 오직 '소수'인 수들만을 의미합니다. 1은 소수가 아니므로 12의 소인수는 2와 3뿐입니다.

21번.

소인수분해의 정의와 성질에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 합성수를 그 수의 소인수들만의 곱으로 나타내는 것을 의미한다.

② 2나 3, 7 같은 소수들도 반드시 소인수분해 과정을 거쳐야 한다.

③ 소인수들을 비교하면 여러 수의 최대공약수와 최소공배수를 쉽고 빠르게 구할 수 있다.

④ 어떤 합성수가 쪼개지지 않는 어떤 소수들로 이루어졌는지 한눈에 확인할 수 있다.

정답: ①, ③, ④

해설

② 소수들은 본인 자체가 이미 더 이상 쪼개지지 않는 낱개 요소(기본 재료)이므로 소인수분해를 할 수 없으며, 소인수분해의 유의미한 진짜 대상은 합성수입니다.

22번.

소인수분해를 이용해 약수를 구하는 방법에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르세요.

① 어떤 수의 약수는 그 수를 이루고 있는 소인수 블록들의 조합으로만 만들어진다.

② 소인수의 종류가 2개인 경우에는 가로와 세로로 이루어진 표를 이용하기 적합하다.

③ 12의 약수 표를 만들 때 가로줄과 세로줄에는 1을 제외하고 소인수만 적어야 한다.

④ 60과 같이 소인수의 종류가 3개 이상인 경우에도 표를 이용하는 것이 가장 효율적이다.

정답: ①, ②

해설

③ 표의 빈칸을 채워 조합을 만들 때는 각 소인수의 거듭제곱으로 만들 수 있는 모든 약수를 '1'을 포함하여 적어야 빠짐없이 약수를 구할 수 있습니다.

④ 소인수의 종류가 3개 이상일 때는 2차원 표로 나타내기 어려우므로, 표 대신 '가지치기 방식'을 사용하여 조합을 하나하나 찾는 것이 실수를 줄이는 효율적인 방법입니다.

최종적으로, 학습한 내용과 관련된 교과서 및 문제집의 문제들을 풀어주세요!